Abelian arithmetic Chern-Simons theory and arithmetic linking numbers

https://academic.oup.com/imrn/article/2019/18/5674/4656167

Chern-Simons 이론은 대표적인 3차원 게이지 양자장론 (quantum field theory)으로 3차원 다양체의 매듭 연구에서 기존의 수학이론으로는 예측하기 힘들었던 위상적 quantum invariant들을 발견하는데 핵심적인 역할을 하였다. Arithmetic Chern-Simons 이론은 정수론의 핵심 연구주제인 수체의 갈루아 군과 그 표현을 물리학의 Chern-Simons theory의
아이디어를 이용하여 연구하고자 하는 새로운 분야이다. 수체의 에탈 코호몰로지 차원이 3차원이며 국소적 수체는 2차원 다양체로 솟수는 3차원 다양체 내의 매듭과 유사한 구조가 있을 바탕으로 나온 arithmetic topology 이론을 더욱 발전시켜 Arithmetic Chern-Simons 이론이 나오게 되었다. 본 논문은 이 이론을 창시한 Oxford 대학의 김민형 교수와 함께 초기 기반을 본 저자가 같이 만들어 가는 작업에서 나온 논문이다. 이 논문에서는 수체 안의 두 개의 솟수가 얼마나 꼬여있는지를 계산하는 새로운 불변량인 arithmetic linking number를 새롭게 도입하였고, 이를 산술적인 quantum path integral을 이용하여 표현하는 간결한 공식을 찾았다. 현재는 그 발전의 초창기에 있지만 갈루아 표현과 보형형식의 엘함수와 같은 정수론의 핵심난제와 그 연관성이 더욱 심화되는 과정에 있고 그 관심도가 증가하고 있는 바 미래에는 매우 중요한 이론을 자리매김할 가능성이 크다. 이는 본 사업단 연구의 혁신성과 창의성을 잘 나타내는 연구라고 할 수 있다.

 

Abstract

Following the method of Seifert surfaces in knot theory, we define arithmetic linking numbers and height pairings of ideals using arithmetic duality theorems, and compute them in terms of n-th power residue symbols. This formalism leads to a precise arithmetic analogue of a “path-integral formula” for linking numbers.