Affine cones over smooth cubic surfaces

https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn=1435-9855&vol=18&iss=7&rank=5

파노 대수공간의 비유리성 연구에서 untwisting이라고 불리는 기술과 알파불변량 (alpha-invariant)이 중요한 도구로 등장한다. 본 논문은 이 도구를 통해 발달된 아이디어에 착안하여 아파인기하학 분야의 오래된 난제를 해결하였다. 페르마 타입의 다항식으로 정의되는 아파인 대수곡면이 원점에서 순환군에 의해서 생성되는 2차원 특이점을 갖는 것은 이 대수곡면이 가군에 의한 action을 갖는 것과 동치이다. 이 사실을 3차원으로 확장하기 위해 독일 보흠 대학의 H. Flenner와 프랑스 그레노블 대학의 M. Zaidenberg는 2003년에 X^3+y^3+z^3+w^3=0으로 4차원 아파인공간에 정의되는 3차원 초곡면은 가군에 의한 action을 가지는가?
라는 아주 단순한 질문을 제기한다. 그러나 이 문제는 10년이 넘게 아파인기하학에서 풀리지 않는 난제로 남아 있었다. T. Kishimoto(일본), Yu. Prokhorov(러시아), M. Zaidenberg(프랑스)의 공동연구 팀은 이 문제를 사영기하학으로 재해석하고 부분적인 연구 결과를 도출하지만 위 문제를 해결하지는 못했다. 이 문제의 해결은 박지훈 교수와 원준영 (박지훈 교수의 전 지도대학원생) 그리고 영국의 I. Cheltsov의 공동연구로 완전한 해결을 보았다. 이 결과는 3차형식 X^3+y^3+z^3+w^3=0을 포함하는 모든 4변수 3차형식에 대해서 성립하는 결과이기 때문에 Flenner-Zaidenberg의 난제를 문제 자체뿐만 아니라, 광역적인 구도에서도 완전히 해결한다. 이 결과는 아파인기하학을 연구하는 일본, 프랑스, 러시아 등지의 연구 그룹들에 중요한 영향을 주었다.

 

Abstract

We show that affine cones over smooth cubic surfaces do not admit non-trivial $\mathbb{G}_a$ -actions.