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대표연구업적

대표연구업적

Affine cones over smooth cubic surfaces

저자Author
박지훈
논문명Title
Affine cones over smooth cubic surfaces
저널명Journal name
Journal of the European Mathematical
게재일Date of publication
2016
작성자Writer
관리자
작성일Date of issue
2020-03-25 16:04
https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn=1435-9855&vol=18&iss=7&rank=5

파노 대수공간의 비유리성 연구에서 untwisting이라고 불리는 기술과 알파불변량 (alpha-invariant)이 중요한 도구로 등장한다. 본 논문은 이 도구를 통해 발달된 아이디어에 착안하여 아파인기하학 분야의 오래된 난제를 해결하였다. 페르마 타입의 다항식으로 정의되는 아파인 대수곡면이 원점에서 순환군에 의해서 생성되는 2차원 특이점을 갖는 것은 이 대수곡면이 가군에 의한 action을 갖는 것과 동치이다. 이 사실을 3차원으로 확장하기 위해 독일 보흠 대학의 H. Flenner와 프랑스 그레노블 대학의 M. Zaidenberg는 2003년에 X^3+y^3+z^3+w^3=0으로 4차원 아파인공간에 정의되는 3차원 초곡면은 가군에 의한 action을 가지는가?
라는 아주 단순한 질문을 제기한다. 그러나 이 문제는 10년이 넘게 아파인기하학에서 풀리지 않는 난제로 남아 있었다. T. Kishimoto(일본), Yu. Prokhorov(러시아), M. Zaidenberg(프랑스)의 공동연구 팀은 이 문제를 사영기하학으로 재해석하고 부분적인 연구 결과를 도출하지만 위 문제를 해결하지는 못했다. 이 문제의 해결은 박지훈 교수와 원준영 (박지훈 교수의 전 지도대학원생) 그리고 영국의 I. Cheltsov의 공동연구로 완전한 해결을 보았다. 이 결과는 3차형식 X^3+y^3+z^3+w^3=0을 포함하는 모든 4변수 3차형식에 대해서 성립하는 결과이기 때문에 Flenner-Zaidenberg의 난제를 문제 자체뿐만 아니라, 광역적인 구도에서도 완전히 해결한다. 이 결과는 아파인기하학을 연구하는 일본, 프랑스, 러시아 등지의 연구 그룹들에 중요한 영향을 주었다.

 

Abstract

We show that affine cones over smooth cubic surfaces do not admit non-trivial $\mathbb{G}_a$ -actions.
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