대표연구업적
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Nonuniqueness for the Kinetic Fokker-Planck Equation with Inelastic Boundary Conditions
저자Author
황형주
논문명Title
Nonuniqueness for the Kinetic Fokker-Planck Equation with Inelastic Boundary Conditions
저널명Journal name
ARCHIVE FOR RATIONAL MECHANICS AND ANALYSIS
게재일Date of publication
2019
작성자Writer
관리자
작성일Date of issue
2020-03-25 11:01
https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-018-1299-0
기체운동입자들을 연구하는 kinetic theory는 3명의 필즈상 수상자를 배출할 만큼 중요한 분야로서 기체분자 속도에서의 확산현상을 고려한 Fokker-Planck 방정식은 물리와 수학에서 중요한 연구대상이 되어왔다. 이 논문에서는 분자가 경계와 부딪힐때 특이현상(singularity)을 가지게 되는데 비탄성조건하에 특이점 근방에서 해의 구조에 대해 기술하였다. 이 문제는 50년 전 물리적으로 발표되었던 난제였던 문제에 대해 수학적으로 보인것으로 exponent r 의 범위에 따라 해의 유일성과 비유일성이 구분되어지는 복잡한 해의 구조를 수학적으로 기술한 결과이다. 이것을 증명하기 위해서는 편미분방정식 이론의 범위를 넘어 확률론과 물리 분야의 이론을 적극적으로 도입하고 융합하는 이론이 요구되었다. 이 결과는 미국과 유럽의 kinetic theory 최고 전문가들로부터 큰 반향을 얻어 여러차례 학회 및 세미나 강연을 진행한 바 있다.
We describe the structure of solutions of the kinetic Fokker–Planck equations in domains with boundaries near the singular set in one-space dimension. We study in particular the behaviour of the solutions of this equation for inelastic boundary conditions which are characterized by means of a coefficient r describing the amount of energy lost in the collisions of the particles with the boundaries of the domain. A peculiar feature of this problem is the onset of a critical exponent rc which follows from the analysis of McKean (J Math Kyoto Univ 2:227–235 1963) of the properties of the stochastic process associated to the Fokker–Planck equation under consideration. In this paper, we prove rigorously that the solutions of the considered problem are nonunique if r < rc and unique if r c <r≦1. rc<r≦1. In particular, this nonuniqueness explains the different behaviours found in the physics literature for numerical simulations of the stochastic differential equation associated to the Fokker–Planck equation. In the proof of the results of this paper we use several asymptotic formulas and computations in the companion paper (Hwang in Q Appl Math 2018).
기체운동입자들을 연구하는 kinetic theory는 3명의 필즈상 수상자를 배출할 만큼 중요한 분야로서 기체분자 속도에서의 확산현상을 고려한 Fokker-Planck 방정식은 물리와 수학에서 중요한 연구대상이 되어왔다. 이 논문에서는 분자가 경계와 부딪힐때 특이현상(singularity)을 가지게 되는데 비탄성조건하에 특이점 근방에서 해의 구조에 대해 기술하였다. 이 문제는 50년 전 물리적으로 발표되었던 난제였던 문제에 대해 수학적으로 보인것으로 exponent r 의 범위에 따라 해의 유일성과 비유일성이 구분되어지는 복잡한 해의 구조를 수학적으로 기술한 결과이다. 이것을 증명하기 위해서는 편미분방정식 이론의 범위를 넘어 확률론과 물리 분야의 이론을 적극적으로 도입하고 융합하는 이론이 요구되었다. 이 결과는 미국과 유럽의 kinetic theory 최고 전문가들로부터 큰 반향을 얻어 여러차례 학회 및 세미나 강연을 진행한 바 있다.
Abstract
We describe the structure of solutions of the kinetic Fokker–Planck equations in domains with boundaries near the singular set in one-space dimension. We study in particular the behaviour of the solutions of this equation for inelastic boundary conditions which are characterized by means of a coefficient r describing the amount of energy lost in the collisions of the particles with the boundaries of the domain. A peculiar feature of this problem is the onset of a critical exponent rc which follows from the analysis of McKean (J Math Kyoto Univ 2:227–235 1963) of the properties of the stochastic process associated to the Fokker–Planck equation under consideration. In this paper, we prove rigorously that the solutions of the considered problem are nonunique if r < rc and unique if r c <r≦1. rc<r≦1. In particular, this nonuniqueness explains the different behaviours found in the physics literature for numerical simulations of the stochastic differential equation associated to the Fokker–Planck equation. In the proof of the results of this paper we use several asymptotic formulas and computations in the companion paper (Hwang in Q Appl Math 2018).
