대표연구업적
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The Bishop-Phelps-Bollobás version of Lindenstrauss properties A and B
저자Author
최윤성
논문명Title
The Bishop-Phelps-Bollobás version of Lindenstrauss properties A and B
저널명Journal name
Transactions of American Mathematical Society
게재일Date of publication
2015
작성자Writer
관리자
작성일Date of issue
2020-03-25 10:55
https://arxiv.org/abs/1305.6420
유명한 Bishop-Phelps 정리는 바나흐 공간의 단위구에서 정의된 선형범함수는 최대값을 갖는 선형범함수로 수렴시킬 수 있다는 것이다. Bollobás는 이 정리를 수치적으로 개발하여, 선형 범함수 뿐만 아니라 최대값을 갖는 점도 동시에 수렴시킬 수 있다는 것을 밝혔고, 이를 Bishop-Phelps –Bollobás 정리라고 부른다, 필즈메달 수상자인 Bourgain, Gowers를 비롯한 많은 수학자들이 바나흐 공간 간의 선형작용소에 대하여 Bishop-Phelps 정리의 성립 여부를 연구하여 왔다. 특히 Lindenstrauss는 1963년에 모든 치역 바나흐 공간 에 대하여 이 정리가 성립하는 정의역 바나흐 공간 , 즉 성질 (A)를 갖는 공간 , 이와 대비하여 모든 정의역 바나흐 공간 에 대하여 이 정리가 성립하는 치역 바나흐 공간 , 즉 성질 (B)를 갖는 공간 에 대하여 연구하였다. 1977년에 Bourgain은 성질 (A)가 Radon-Nikodym 성질과 거의 동등하다는 것을 보였다. 이 논문에서는 Bishop-Phelps-Bollobás 정리에 대하여 성질 (A)와 성질 (B)를 연구하였다. 가장 흥미로운 결과는 위에 언급한 Bishop-Phelps 정리에 대한 Bourgain의 결과와는 달리, 정의역 공간 X와 동형 (Isomorphic)인 모든 공간이 Bishop-Phelps-Bollobás 정리의 성질 (A)를 갖는 경우는 일차원인 밖에 없다는 것이다. 이 논문의 구글 인용지수는 44로서 많은 논문에 영향을 미쳤으며, 2014년 아르헨티나 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA에서 개최된 Workshop on Infinite Dimensional Analysis Buenos Aires 2014에서 이 논문의 내용으로 60분의 초청강연을 하였다.
Abstract:
We study a Bishop-Phelps-Bollobás version of Lindenstrauss properties A and B. For domain spaces, we study Banach spaces
such that 
has the Bishop-Phelps-Bollobás property (BPBp) for every Banach space 
. We show that in this case, there exists a universal function 
such that for every 
, the pair 
has the BPBp with this function. This allows us to prove some necessary isometric conditions for 
to have the property. We also prove that if 
has this property in every equivalent norm, then 
is one-dimensional. For range spaces, we study Banach spaces 
such that 
has the Bishop-Phelps-Bollobás property for every Banach space 
. In this case, we show that there is a universal function 
such that for every 
, the pair 
has the BPBp with this function. This implies that this property of 
is strictly stronger than Lindenstrauss property B. The main tool to get these results is the study of the Bishop-Phelps-Bollobás property for 
-, 
- and 
-sums of Banach spaces.
유명한 Bishop-Phelps 정리는 바나흐 공간의 단위구에서 정의된 선형범함수는 최대값을 갖는 선형범함수로 수렴시킬 수 있다는 것이다. Bollobás는 이 정리를 수치적으로 개발하여, 선형 범함수 뿐만 아니라 최대값을 갖는 점도 동시에 수렴시킬 수 있다는 것을 밝혔고, 이를 Bishop-Phelps –Bollobás 정리라고 부른다, 필즈메달 수상자인 Bourgain, Gowers를 비롯한 많은 수학자들이 바나흐 공간 간의 선형작용소에 대하여 Bishop-Phelps 정리의 성립 여부를 연구하여 왔다. 특히 Lindenstrauss는 1963년에 모든 치역 바나흐 공간 에 대하여 이 정리가 성립하는 정의역 바나흐 공간 , 즉 성질 (A)를 갖는 공간 , 이와 대비하여 모든 정의역 바나흐 공간 에 대하여 이 정리가 성립하는 치역 바나흐 공간 , 즉 성질 (B)를 갖는 공간 에 대하여 연구하였다. 1977년에 Bourgain은 성질 (A)가 Radon-Nikodym 성질과 거의 동등하다는 것을 보였다. 이 논문에서는 Bishop-Phelps-Bollobás 정리에 대하여 성질 (A)와 성질 (B)를 연구하였다. 가장 흥미로운 결과는 위에 언급한 Bishop-Phelps 정리에 대한 Bourgain의 결과와는 달리, 정의역 공간 X와 동형 (Isomorphic)인 모든 공간이 Bishop-Phelps-Bollobás 정리의 성질 (A)를 갖는 경우는 일차원인 밖에 없다는 것이다. 이 논문의 구글 인용지수는 44로서 많은 논문에 영향을 미쳤으며, 2014년 아르헨티나 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA에서 개최된 Workshop on Infinite Dimensional Analysis Buenos Aires 2014에서 이 논문의 내용으로 60분의 초청강연을 하였다.
Abstract:
We study a Bishop-Phelps-Bollobás version of Lindenstrauss properties A and B. For domain spaces, we study Banach spaces
such that has the Bishop-Phelps-Bollobás property (BPBp) for every Banach space . We show that in this case, there exists a universal function such that for every , the pair has the BPBp with this function. This allows us to prove some necessary isometric conditions for to have the property. We also prove that if has this property in every equivalent norm, then is one-dimensional. For range spaces, we study Banach spaces such that has the Bishop-Phelps-Bollobás property for every Banach space . In this case, we show that there is a universal function such that for every , the pair has the BPBp with this function. This implies that this property of is strictly stronger than Lindenstrauss property B. The main tool to get these results is the study of the Bishop-Phelps-Bollobás property for -, - and -sums of Banach spaces. 
