대표연구업적
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A topological approach to Cheeger-Gromov universal bounds for von Neumann ρ-invariants
저자Author
차재춘
논문명Title
A topological approach to Cheeger-Gromov universal bounds for von Neumann ρ-invariants
저널명Journal name
Communications on Pure and Applied Mathematics
게재일Date of publication
2016
작성자Writer
관리자
작성일Date of issue
2020-03-24 12:24
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa.21597
80년대 Cheeger와 Gromov는 L2 지표 이론을 위한 ρ-불변량을 정의하고, L2 ρ-불변량 값의 유계성을 증명하였다. 2000년대 들어 4차원 공간의 연구에서 이 사실이 결정적 요소가 되면서 이를 위상적으로 이해할 필요성이 크게 대두되었으나, Cheeger와 Gromov의 접근은 심오한 해석적 기법에 기반하여 상한의 존재성 이외에는 다른 어떤 실마리도 알려지지 않았다.
이 논문에서는 ρ-불변량과 그 상한을 연구하는 새로운 위상적 방법을 제시하고, 심플리셜 범주의 정량적(quantitative) 기법, 정량적 보디즘 이론과 정량적 사슬 호모토피를 새롭게 개발해 3차원 다양체 ρ-불변량의 구체적 선형 상한을 최초로 발견하였다. 이를 이용해 다양체의 조합적, 기하군론적 및 매듭론적 특성과 ρ-불변량의 명확한 관련성을 규명했고, 4차원 연구 뿐 아니라 난제로 여겨졌던 3차원 다양체의 복잡도(complexity) 문제에 대한 새로운 결과들이 속속 도출되고 있다. 이 결과에 대한 많은 관심으로 인해 세계 각국의 국제학술대회와 저명 대학 및 연구소에 20회 이상 초청되어 강연하였으며, 특히 한국 수학을 대표하여 2018년 대한수학회-독일수학회 공동국제학술회의 기조강연을 한 바 있다.
Using deep analytic methods, Cheeger and Gromov showed that for any smooth (4k‐1)‐manifold there is a universal bound for the von Neumann L2 ρ‐invariants associated to arbitrary regular covers. We present a proof of the existence of a universal bound for topological (4k‐1)‐manifolds, using L2‐signatures of bounding 4k‐manifolds. We give explicit linear universal bounds for 3‐manifolds in terms of triangulations, Heegaard splittings, and surgery descriptions. We show that our explicit bounds are asymptotically optimal. As an application, we give new lower bounds of the complexity of 3‐manifolds that can be arbitrarily larger than previously known lower bounds. As ingredients of the proofs that seem interesting on their own, we develop a geometric construction of efficient 4‐dimensional bordisms of 3‐manifolds over a group and develop an algebraic topological notion of uniformly controlled chain homotopies.© 2016 Wiley Periodicals, Inc.
80년대 Cheeger와 Gromov는 L2 지표 이론을 위한 ρ-불변량을 정의하고, L2 ρ-불변량 값의 유계성을 증명하였다. 2000년대 들어 4차원 공간의 연구에서 이 사실이 결정적 요소가 되면서 이를 위상적으로 이해할 필요성이 크게 대두되었으나, Cheeger와 Gromov의 접근은 심오한 해석적 기법에 기반하여 상한의 존재성 이외에는 다른 어떤 실마리도 알려지지 않았다.
이 논문에서는 ρ-불변량과 그 상한을 연구하는 새로운 위상적 방법을 제시하고, 심플리셜 범주의 정량적(quantitative) 기법, 정량적 보디즘 이론과 정량적 사슬 호모토피를 새롭게 개발해 3차원 다양체 ρ-불변량의 구체적 선형 상한을 최초로 발견하였다. 이를 이용해 다양체의 조합적, 기하군론적 및 매듭론적 특성과 ρ-불변량의 명확한 관련성을 규명했고, 4차원 연구 뿐 아니라 난제로 여겨졌던 3차원 다양체의 복잡도(complexity) 문제에 대한 새로운 결과들이 속속 도출되고 있다. 이 결과에 대한 많은 관심으로 인해 세계 각국의 국제학술대회와 저명 대학 및 연구소에 20회 이상 초청되어 강연하였으며, 특히 한국 수학을 대표하여 2018년 대한수학회-독일수학회 공동국제학술회의 기조강연을 한 바 있다.
Abstract
Using deep analytic methods, Cheeger and Gromov showed that for any smooth (4k‐1)‐manifold there is a universal bound for the von Neumann L2 ρ‐invariants associated to arbitrary regular covers. We present a proof of the existence of a universal bound for topological (4k‐1)‐manifolds, using L2‐signatures of bounding 4k‐manifolds. We give explicit linear universal bounds for 3‐manifolds in terms of triangulations, Heegaard splittings, and surgery descriptions. We show that our explicit bounds are asymptotically optimal. As an application, we give new lower bounds of the complexity of 3‐manifolds that can be arbitrarily larger than previously known lower bounds. As ingredients of the proofs that seem interesting on their own, we develop a geometric construction of efficient 4‐dimensional bordisms of 3‐manifolds over a group and develop an algebraic topological notion of uniformly controlled chain homotopies.© 2016 Wiley Periodicals, Inc.
