에르고딕 이론과 이의 수론과 조합론에 관한 응용

에르고딕 이론은 통계역학과 천문학에서 유래하여 동역학계를 다루는 수학의 한 분야로 발전하였고, 현재에는 수론 및 조합론을 비롯한 수학의 다양한 분야에 응용되는 연구분야입니다. '에르고딕'이라는 용어는 볼츠만에 의해 만들어졌으며, 그리스어 단어 'ergon(work)'과 'hodos(path)'에서 유래된 것으로 알려져 있습니다. 볼츠만은 에르고딕 가설을 제시했는데, 이는 궤도를 따라서 시간 평균과 공간 평균이 같다는 것을 의미하는데, 현재에는 이와 같은 성질을 가지는 역학계를 에르고딕계라 부르고 있습니다.

에르고딕 이론에서 중요한 연구 대상은 측도 보존계로, 이는 상태 공간을 확률 공간으로, 그리고 그 공간 위에 군의 측도 보존적인 작용으로 이루어집니다. 에르고딕 이론에서 첫 번째 중요한 결과는 Poincare's recurrence theorem으로, 측도보존계에서는 임의의 사건이 다시 발생한다는 것을 의미합니다. 1970년대 중반 Furstenberga는  이 정리를 더욱 깊게 일반화한 multiple recurrence theorem을 증명하였습니다. 그리고 그는 이 정리를 활용하여 조합론의 중요한 Szemeredi의 정리에 대한 새로운 증명을 도출해냈습니다. 이후 그의 에르고딕 접근법은 additive combinatorics에서 많은 새로운 결과들을 유도하는데 활용되었고, 특히 Green과 Tao는 이 방법론을 바탕으로 소수에서의 임의의 길이의 등차수열이 존재한다는 연구결과를 도출하였습니다. 

제 연구의 주요 주제는 에르고딕 이론과 이의 수론과 조합론에 관한 응용으로 아래는 현재까지 진행했던 몇 가지 연구 주제들입니다.

1. Joint normality of representations of numbers

2. Joint ergodicity of piecewise monotone interval maps

3. Equidistribution of generalized polynomials and applications to sets of recurrence

4. Uniform distribution of subpolynomial functions and applications to sets of recurrence