연구에 대한 간단한 소개의 글

안녕하세요? 저는 이경석이라고 합니다. 이렇게 제 연구를 소개할 기회를 갖게 되어서 기쁘게 생각합니다.

제가 주로 연구하는 분야는 대수기하학입니다. 대수기하학은 전통적으로는 국소적으로 몇 개의 다항식의 공통근으로 주어지는 수학적 대상(대수다양체라고 불립니다)들의 기하학을 연구하는 학문입니다. 대수다양체의 대표적인 예로는 사영공간, 리만곡면, 타원곡선, 대수적 K3 곡면, 대수적 칼라비-야우 다양체, 그리고 다양한 파노다양체 등이 있습니다. 대수기하학은 긴 역사를 가지고 있는데 특히 20세기에 와서 Grothendieck과 동료연구자들에 의해 혁명적인 여러 발전을 했고 또 대수기하학의 여러 방법론들과 관점들이 수학의 다른 분야에도 많은 영향을 미쳐서 이제 순수수학에서 없어서는 안되는 분야가 중요한 되었습니다. 저는 이러한 대수기하학의 주요 연구대상인 대수다양체들을 다양한 관점과 이론, 불변량 등을 이용해서 공부하는 것을 좋아하는 편인데 예를 들면 유도된 범주이론, Cox 환, 벡터다발, 쌍유리기하학, 호지이론 등의 도구들을 이용해서 대수다양체들의 성질을 이해하려고 노력하고 있습니다.

제가 대학원에서 주로 공부한 주제는 유도된 범주(derived category)를 사용하여 대수다양체를 이해하는 것이었습니다. 유도된 범주이론은 Serre 쌍대성을 확장하기 위해 Grothendieck, Verdier가 개발한 호몰로지 대수학의 한 분야입니다. 대수다양체 위의 coherent sheaves들의 유도된 범주를 대수다양체의 불변량으로 이해하고 이를 통해 대수기하학을 확장하려는 시도는 Bondal, Orlov, Kapranov등의 여러 수학자들에 의해 그 이론이 발전되었고 또 Kontsevich가 거울대칭이론을 설명하기 위해 이 이론을 차용함으로서 더욱 관심을 끌게 되었습니다. 그 이후 발전을 거듭해서 유도된 범주는 현재는 가장 많이 연구된 대수다양체의 불변량 중 하나가 되었습니다. 대수곡면의 경우 Kodaira 차원이 음수인 경우에는 유도된 범주에 대한 어느 정도의 이해가 있었지만 Kodaira 차원이 양수인 경우에는 알려진 결과가 많지 않았는데 제가 대학원을 다닐 때 Bohning-Bothmer-Sosna의 선도적인 연구를 통해 고전적인 Godeaux 곡면의 유도된 범주가 quasiphantom 범주라는 그 전까지는 알려져 있지 않았던 새로운 성질을 갖는 범주를 포함하고 있다는 것을 알게 되었습니다. 이 연구에 자극을 받아서 저는 대학원 시절에 기하학적인 종수가 0인 몇 가지 일반형 대수곡면의 유도된 범주들 안에서 quasiphantom 범주들을 건설하였습니다. 그 후에도 T. Shabalin 박사님, 김윤환 박사님, 김현규 교수님들과 몇 가지 다른 예들을 건설하였습니다.

대수다양체 중 가장 많이 연구가 되어있는 대상들은 리만곡면이라고 불리는 1차원 대수다양체, 즉 대수곡선들입니다. 차원이 2인 대수다양체, 대수곡면들은 Kodaira 차원이 1이하인 것들은 어느 정도 이해가 되어 있는 반면에 그 나머지들인 일반형 대수곡면들은 아직 모르는 것이 많고 또 완전한 분류가 되어있지 않습니다. 이 공간들의 분류문제는 대수/복소곡면의 완전한 분류를 위해서 반드시 해결되어야 할 문제입니다. 저는 금종해 교수님과 몇 종류의 잘 알려진 일반형 곡면들이 쌍유리기하학적으로 이상적이라는 사실을 발견하였고 또 D. Frapporti 박사와 함께 reducible fake quadric들 역시 쌍유리기하학적으로 이상적인 성질을 갖는다는 것을 증명하였습니다. 그리고 이러한 예들을 바탕으로 최근 금종해 교수님과 Cox ring을 통해서 이러한 일반형 곡면들을 연구하는 방법을 개발하였습니다.

제가 학위논문에서 연구했던 새로운 범주들의 건설은 큰 틀에서는 유도된 범주의 semiorthogonal 분할을 연구하는 것이라고 볼 수 있습니다. 유도된 범주의 semiorthogonal 분할은 대수다양체의 유도된 범주를 연구하는 핵심적인 기법 중 하나입니다. 이 맥락에서 저는 김영훈 교수님과 파노다양체들의 유도된 범주들이 포함할 수 있는 범주들에는 어떤 것들이 있는가라는 주제로 몇 가지 연구를 진행했습니다. 특히 김영훈 교수님, 김인균 박사님, 이화영 박사님과 함께 모든 complete intersection 다양체의 유도된 범주가 파노다양체의 유도된 범주에 포함될 수 있다는 것을 증명하였고 또 그 이후 김영훈 교수님과의 후속 연구를 통해 다른 다양체들의 유도된 범주들이 파노다양체의 유도된 범주에 포함된다는 것을 증명하였습니다. 유도된 범주의 semiorthogonal 분할은 여러 응용이 있는데 그 중의 하나는 파노다양체 위의 특정한 vector bundle을 연구할 때 이 분할을 사용하는 것입니다. 예를 들면 저는 이 삼각분할을 이용하여 김영락 교수님, 조용화 박사님과 intersection of two quadrics로 얻어지는 3차원 파노다양체의 Ulrich bundle을 분류하였고 그 이후 박경동 교수님과 V5로 불리는 또 다른 3차원 파노다양체의 Ulrich bundle을 분류하였고 또 특정한 homogeneous 다양체 위의 equivariant Ulrich bundle을 분류하기도 하였습니다.

그리고 포닥 기간 중에 M. S. Narasimhan 교수님을 만나서 대수곡선위의 벡터다발들의 moduli 공간에 대한 연구를 시작했습니다. 대수곡선위의 벡터다발의 moduli 공간은 moduli 이론에서 가장 고전적이고 중요한 연구대상 중 하나로 이 분야의 연구는 대수기하학, 미분기하학, 위상수학, 표현론, 수리물리학 등의 분야들과 깊은 연관이 있습니다. 저는 Narasimhan 교수님과 같이 이 공간들의 모티브, 유도된 범주, 쌍유리 기하학을 연구하였고 또 이 과정에서 I. Biswas 교수님, T. L. Gomez 교수님과도 같이 연구를 하게 되었습니다. 그리고 최근에는 문한봄 교수님과의 여러 공동 연구를 통해 이 분야를 계속 발전시키고 있습니다.

저는 현재는 Miami에서 일하고 있고 이 곳에서는 주로 L. Katzarkov 교수님과 공동연구를 진행했는데 (quasi)phantom 범주, 쌍유리기하학, 호지이론, non-Kahler manifold 의 기하학 등을 주로 연구하였습니다. 그리고 이 곳에 위상수학과 미분기하학을 공부하시는 교수님들께서 많이 계셔서 그 분들과의 교류를 통해 많은 것을 배울 수 있었습니다. 특히 최근에는 연구의 지평을 좀 더 넓혀서 대수기하학의 방법론을 다른 분야에 적용하는 쪽에도 관심을 가지고 있습니다. 몇 가지 예를 들면 대수기하학의 방법론을 이용하여 저차원 다양체의 위상수학과 non-Kahler 복소다양체들을 연구하는 방법을 동료 수학자들과 개발하고 있습니다.

지면 관계 상 이만 연구 소개를 마무리해야 할 것 같습니다. 긴 글을 읽어주셔서 감사드리고 학교에서 더 많은 분들과 소통할 수 있는 계기가 될 수 있기를 기대합니다.